Existence and non-existence results for the higher order Hardy–Hénon equations revisited

This paper is devoted to the study of non-negative, non-trivial (classical, punctured, or distributional) solutions to higher order Hardy–Hénon equations(−Δ)mu=|x|σup in Rn with p>1. We show that the conditionn−2m−2m+σp−1>0 is necessary for the existence of distributional solution. For n≥2m and σ>−2m, we prove that any distributional solution satisfies an integral equation and weak super polyharmonic properties. We establish also some sufficient conditions for punctured or classical solution to be a distributional solution. As application, we show that if n≥2m, σ>−2m, there is no non-negative, non-trivial classical solution to the equation if12m, σ>−2m and p≥pS(m,σ). Our approach is very different from most previous works on this subject, which enables us to have more understanding of distributional solutions, to get sharp results, hence closes several open questions. Résumé Ce papier est consacré à l'étude des solutions non-négatives, non triviales (classiques, perforées ou de distribution) des équations Hardy-Hénon d'ordre supérieur(−Δ)mu=|x|σup dans Rn, avec p>1. Nous montrons que la conditionn−2m−2m+σp−1>0 est nécessaire pour l'existence des solutions au sens de la distribution. Quand n≥2m et σ>−2m, nous prouvons que toute solution de distribution satisfait à une équation intégrale et des propriétés super polyharmoniques au sens faible. Nous établissons également des conditions suffisantes telles qu'une solution perforée ou classique soit une solution de distribution. Comme application, nous montrons que quand n≥2m, σ>−2m, il n'y a pas de solution classique non-négatives, non triviales de l'équation si12m, σ>−2m et p≥pS(m,σ). Notre approche est très différente de la plupart des travaux précédents sur ce sujet, ce qui nous permet de mieux comprendre les solutions de distribution, d'avoir de meilleurs résultats, et de répondre à certaines questions ouvertes.